INSTRUMENTOS
DE DIBUJO
La geometría del plano está estrechamente
ligada con la regla y el compás, además de con otros instrumentos de dibujo
como escuadra, cartabón, semicírculo graduado, comúnmente llamado transportador
de ángulos, etc. Así pues, dichos instrumentos son utilizados tanto en un
sentido práctico (representación rigurosa de las figuras) como teórico
(justificar conceptos y propiedades).
ASPECTOS HISTÓRICOS
Existen dos tipos de proposiciones dentro
de los enunciados de los Elementos de Euclides, que son los teoremas y los
problemas. Los teoremas se utilizan para enunciar las propiedades de los entes
matemáticos y terminan con la frase “como queríamos demostrar”, mientras que
los problemas sirven para explicar cómo se construyen los distintos tipos de
objetos matemáticos y terminan con la frase “como queríamos hacer”.
A continuación veréis algunas de las
definiciones y proposiciones sobre los Elementos de Euclides.
- Definición
3: Una figura rectilínea está inscrita en un círculo, cuando todos los
ángulos de la figura inscrita en el círculo tocan su circunferencia.
- Definición
4: una figura rectilínea está inscrita en un círculo, cuando todos los
lados de la figura circunscrita tocan con la circunferencia del círculo.
- Definición
5: un círculo se considera inscrito en una figura cuando la circunferencia
toca cada lado de la figura en la que está inscrita.
- Definición
6: un círculo se considera inscrito en torno a una figura cuando su
circunferencia toca todos los ángulos de la figura a la que está
circunscrita.
- Proposición
6 → inscribir un cuadrado en un círculo dado.
- Proposición
7 → circunscribir un cuadrada en torno un círculo dado.
- Proposición
11 → inscribir un pentágono equilátero y equiángulo en un círculo dado.
- Proposición
14 → circunscribir un círculo en torno a un pentágono equilátero y
equiángulo dado.
- Proposición
15 → inscribir un hexágono equilátero y equiángulo en un círculo dado.
- Proposición
16 → la última proposición del libro IV, la cual dice que la construcción
de un polígono regular de 15 lados, el pentágono decágono, es donde
Euclides inscribe un pentágono regular y un triángulo equilátero en el
mismo círculo con un vértice común.
El libro IV presenta 16 proposiciones de
construcción con regla y compás de polígonos regulares de 3,4,5,6 y 15 lados
inscritos en una circunferencia. Por el proceso de la bisección a partir del
triángulo equilátero resultan los polígonos de 6, 12, 24… lados. A partir del
cuadrado polígonos regulares de 8, 16…
El 29 de marzo de 1976 Gauss, cerca de sus
19 años, descubrió cómo construir el polígono regular de 17 lados. Fue en este
momento cuando se decantó por ser matemático y no filósofo. Tras su muerte, se
exigió un estatus de bronce en forma de heptágono en Gottinga, su ciudad natal.
ASPECTOS MATEMÁTICOS
Gracias a los instrumentos de dibujo
mencionados anteriormente, se pueden construir polígonos regulares de varios
lados. A continuación, mostramos algunos de ellos:
- Triángulo
equilátero: este polígono se dibuja trazando una
circunferencia y pinchando en un punto de esta, con una abertura igual al
radio, se marcan una a continuación de otra. Estas señales o marcas
trazadas, se unen de forma alternativa y se obtiene un triángulo
equilátero.
2.
Cuadrado: en este caso, se trazan dos diámetros
perpendiculares, y uniendo los puntos de la circunferencia se obtiene dicho
polígono, en este caso un cuadrilátero.
3.
Hexágono regular: se debe dibujar una circunferencia y el radio de esta
será la medida de cada lado del hexágono.
4.
Octógono regular: ayudándonos de un cuadrado ya dibujado, trazamos las
mediatrices de los lados de este, cortando a la circunferencia en cuatro
puntos, en total ocho, los cuales debemos de unir para obtener finalmente el
octógono regular que buscamos.
5.
Heptágono regular: la mediatriz al radio OP, determina el segmento AB al
lado del heptágono regular. https://www.youtube.com/watch?v=6oTK1IFHBCE
6.
Eneágono regular: Se traza el diámetro (PQ) y una línea
perpendicular semirrecta que pase por su centro (O). Pinchamos P con el punto
O, y obtenemos el punto M. Pinchando puntos QM y trazamos un arco que corta la
circunferencia en punto C. Con centro en CP se traza un arco de circunferencia
que corta , en el punto B el segmento AC. Este segmento es la medida de los
lados.
7.
Decágono regular:
- Se traza
el radio (OP) con centro (O).
- Se traza
una circunferencia con diámetro OP y centro C.
- El diámetro AM es perpendicular a OP y se una A con C a la circunferencia pequeña en el punto B.
- El segmento AB es la medida de los lados del decágono.
8.
Pentágono regular: Trazar dos diámetros perpendiculares. Calcular la
mediatriz de uno de los radios. Cogemos el punto que corta el radio con la
mediatriz como centro, haciendo un arco desde el punto que corta el diámetro
perpendicular (A), hasta que corte ese diámetro. Con ese punto de corte,
trazamos una línea, que será la medida del lado del pentágono. Cogiendo esa
medida con el compás, lo trasladamos para marcar todos los lados en la
circunferencia.
9.
Dodecágono regular: dibujando dos diámetros perpendiculares.
- Con el mismo radio de la circunferencia dada,
dibujamos cuatro arcos de la circunferencia con centros en cada uno de los
puntos de los diámetros perpendiculares.
- Unimos todos los puntos para formar el dodecágono regular.
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