TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría se engloba en el bloque de Geometría, y su estudio es posterior al de movimientos en el plano, lo que nos servirá de base para trabajar las razones trigonométricas como razones entre los lados de triángulos rectángulos semejantes. Así pues, conviene que los alumnos tengan una visión clara, y por ello hemos diseñado un mapa conceptual:

La trigonometría es una rama de las matemáticas que nos permite hallar las medidas de los lados y ángulos de los triángulos como hemos mencionado anteriormente. A partir de las fórmulas o razones trigonométricas podemos relacionar los lados con sus ángulos y viceversa. Entonces la trigonometría ¿para qué sirve? es útil para resolver problemas geométricos y calcular longitudes en la realidad.

Los conceptos básicos que ha de tener un profesor de Educación Primaria sobre la trigonometría deberán de ser los siguientes:

Para medir ángulos tenemos que medir su recorrido en la circunferencia. La medida de la circunferencia es 2x𝝅xR

Para medir los ángulos utilizamos una unidad llamada radián. También encontramos otro método para medir los ángulos, ya que la circunferencia se mide en 360 grados, a su vez los grados están divididos en minutos y segundos, de tal forma que 1 grado está compuesto de 60 minutos y un minuto de 60 segundos.

Para poder cambiar los ángulos de unidades, los alumnos deben saber cómo pasar de grados, minutos y segundos a radianes y viceversa.

1. Paso de grados a radianes:

Para pasar 1 grado a radianes tenemos que multiplicar por ℼ/180.

 

2.                  Paso de radianes a grados:

Para pasar de radianes a grados multiplicamos los radianes por 180/ℼ.

En los triángulos semejantes,  sus ángulos son iguales y los lados correspondientes son proporcionales.

Dado un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas de un determinado ángulo agudo son:

• El seno es el cociente del cateto opuesto y la hipotenusa.
• El coseno es el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
• La tangente es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

Las razones trigonométricas no dependen del tamaño del triángulo sino del ángulo.

Razones trigonométricas

En los triángulos semejantes los ángulos son iguales y los lados homólogos son proporcionales. La razón entre los lados de un triángulo determina su forma. Dado un triángulo rectángulo, las razones trigonométricas del ángulo agudo α se definen:

• El seno es el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.
• El coseno es el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
• La tangente es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

INSTRUMENTOS DE DIBUJO

INSTRUMENTOS DE DIBUJO

La geometría del plano está estrechamente ligada con la regla y el compás, además de con otros instrumentos de dibujo como escuadra, cartabón, semicírculo graduado, comúnmente llamado transportador de ángulos, etc. Así pues, dichos instrumentos son utilizados tanto en un sentido práctico (representación rigurosa de las figuras) como teórico (justificar conceptos y propiedades).

ASPECTOS HISTÓRICOS

Existen dos tipos de proposiciones dentro de los enunciados de los Elementos de Euclides, que son los teoremas y los problemas. Los teoremas se utilizan para enunciar las propiedades de los entes matemáticos y terminan con la frase “como queríamos demostrar”, mientras que los problemas sirven para explicar cómo se construyen los distintos tipos de objetos matemáticos y terminan con la frase “como queríamos  hacer”.

A continuación veréis algunas de las definiciones y proposiciones sobre los Elementos de Euclides.

• Definición 3: Una figura rectilínea está inscrita en un círculo, cuando todos los ángulos de la figura inscrita en el círculo tocan su circunferencia.
• Definición 4: una figura rectilínea está inscrita en un círculo, cuando todos los lados de la figura circunscrita tocan con la circunferencia del círculo.
• Definición 5: un círculo se considera inscrito en una figura cuando la circunferencia toca cada lado de la figura en la que está inscrita.

• Definición 6: un círculo se considera inscrito en torno a una figura cuando su circunferencia toca todos los ángulos de la figura a la que está circunscrita.
• Proposición 6 → inscribir un cuadrado en un círculo dado.
• Proposición 7 → circunscribir un cuadrada en torno un círculo dado.
• Proposición 11 → inscribir un pentágono equilátero y equiángulo en un círculo dado.
• Proposición 14 → circunscribir un círculo en torno a un pentágono equilátero y equiángulo dado.
• Proposición 15 → inscribir un hexágono equilátero y equiángulo en un círculo dado.
• Proposición 16 → la última proposición del libro IV, la cual dice que la construcción de un polígono regular de 15 lados, el pentágono decágono, es donde Euclides inscribe un pentágono regular y un triángulo equilátero en el mismo círculo con un vértice común.

El libro IV presenta 16 proposiciones de construcción con regla y compás de polígonos regulares de 3,4,5,6 y 15 lados inscritos en una circunferencia. Por el proceso de la bisección a partir del triángulo equilátero resultan los polígonos de 6, 12, 24… lados. A partir del cuadrado polígonos regulares de 8, 16…

El 29 de marzo de 1976 Gauss, cerca de sus 19 años, descubrió cómo construir el polígono regular de 17 lados. Fue en este momento cuando se decantó por ser matemático y no filósofo. Tras su muerte, se exigió un estatus de bronce en forma de heptágono en Gottinga, su ciudad natal.

ASPECTOS MATEMÁTICOS

Gracias a los instrumentos de dibujo mencionados anteriormente, se pueden construir polígonos regulares de varios lados. A continuación, mostramos algunos de ellos:

1. Triángulo equilátero: este polígono se dibuja trazando una circunferencia y pinchando en un punto de esta, con una abertura igual al radio, se marcan una a continuación de otra. Estas señales o marcas trazadas, se unen de forma alternativa y se obtiene un triángulo equilátero.

2.                 Cuadrado:  en este caso, se trazan dos diámetros perpendiculares, y uniendo los puntos de la circunferencia se obtiene dicho polígono, en este caso un cuadrilátero.

3.                 Hexágono regular: se debe dibujar una circunferencia y el radio de esta será la medida de cada lado del hexágono.

4.                 Octógono regular: ayudándonos de un cuadrado ya dibujado, trazamos las mediatrices de los lados de este, cortando a la circunferencia en cuatro puntos, en total ocho, los cuales debemos de unir para obtener finalmente el octógono regular que buscamos.

5.                 Heptágono regular: la mediatriz al radio OP, determina el segmento AB al lado del heptágono regular. https://www.youtube.com/watch?v=6oTK1IFHBCE

6.                 Eneágono regular:  Se traza el diámetro (PQ) y una línea perpendicular semirrecta que pase por su centro (O). Pinchamos P con el punto O, y obtenemos el punto M. Pinchando puntos QM y trazamos un arco que corta la circunferencia en punto C. Con centro en CP se traza un arco de circunferencia que corta , en el punto B el segmento AC. Este segmento es la medida de los lados.

https://www.youtube.com/watch?v=wJmhKQ37TSI

7.                 Decágono regular:

1. Se traza el radio (OP) con centro (O).
2. Se traza una circunferencia con diámetro OP y centro C.
3. El diámetro AM es perpendicular a OP y se una A con C a la circunferencia pequeña en el punto B.
4. El segmento AB es la medida de los lados del decágono.

 https://www.youtube.com/watch?v=_0vOjP5Wfm4

8.                 Pentágono regular: Trazar dos diámetros perpendiculares. Calcular la mediatriz de uno de los radios. Cogemos el punto que corta el radio con la mediatriz como centro, haciendo un arco desde el punto que corta el diámetro perpendicular (A), hasta que corte ese diámetro. Con ese punto de corte, trazamos una línea, que será la medida del lado del pentágono. Cogiendo esa medida con el compás, lo trasladamos para marcar todos los lados en la circunferencia.

   https://www.youtube.com/watch?v=I6685SEB4mw

9.                 Dodecágono regular: dibujando dos diámetros perpendiculares.

1. Con el mismo radio de la circunferencia dada, dibujamos cuatro arcos de la circunferencia con centros en cada uno de los puntos de los diámetros perpendiculares.
2. Unimos todos los puntos para formar el dodecágono regular. 

https://www.youtube.com/watch?v=LSx-ra1sgJY

Estrategias de cálculo mental

Resumen estrategias de cálculo mental

El cálculo mental es aquel que se realiza con el cerebro sin ayuda de ningún tipo se material. Así como las operaciones escritas tienen unas determinadas maneras de realizarse, el cálculo mental tiene una gran variedad de posibilidad de realizarlo. De esta manera se puede decir que cada persona tiene “trucos” que le ayudarán a realizarlo.

Algunas estrategias que nos pueden ayudar a la hora de realizar este tipo de cálculos son:

1.    TÉCNICAS O ESTRATEGIAS PARA LA SUMA

Aplicar la propiedad conmutativa

·         Para operaciones con dos sumandos uno de los trucos puede ser sumar el menor al mayor.

·         Para tres o más sumandos la propiedad conmutativa nos permite reagrupar las cifras por lo que se puede llevar a cabo de una manera más sencilla.

Recuentos o conteos.

·         El conteo es que el que se va realizando unidad a unidad y es el que aprendemos primero que sería el ir sumando con los dedos.

·         Otra posibilidad sería trabajar con series ascendentes; por ejemplo, ir contando de 2 en 2 o de 3 en 3.

·         La descomposición de los números primero de una cifra y luego de más cifras que nos permitirá llevar a cabo los cálculos de una manera mucho más sencilla.

Doblar.

·         Números consecutivos (vecinos). Se piensa el doble del menor y luego se le suma 1.

·         El número misterioso: Este proceso se lleva a cabo cuando es una suma de números casi vecinos, es decir que entre medias de ellos haya otro número, entonces la operación se realizará sumando a si mismo el número misterioso.

Descomposición

Se trata de descomponer uno, o los dos sumandos, en sumas o restas de forma que se transforme la operación inicial en otra equivalente más sencilla.

·         A un nº se le suma progresivamente las unidades, decenas, centenas, del otro

·         Igual que en el apartado anterior, pero en orden inverso.

·         Sumar de izquierda a derecha: “me olvido de las unidades, sumo las decenas y luego sumo las unidades”.

·         Si uno de los números es próximo a una decena, podemos descomponer uno de los sumandos de tal manera que se pueda completar el otro a la decena más próxima.

·         Para sumar un número terminado en 8 ó 9 es muy útil descomponer uno de los sumandos como sustracción

2. TÉCNICAS O ESTRATEGIAS PARA LA RESTA

Como ya sabemos la resta es muy similar a la suma, pero debemos de tener en cuenta que la resta no posee la propiedad conmutativa.

Recuentos o conteos (utilizar prueba de la resta)

Partiendo del sustraendo llegar al minuendo.

Descomposición

Aplicando la misma idea de descomponer un número que en las sumas podemos aplicar estas técnicas a la hora de restar:

·         Restar del minuendo las unidades, decenas, centenas... del sustraendo, en este orden o en el inverso. Descompongo el sustraendo

·         Si uno de los números es próximo a una decena, completar hasta esa decena y sumar o restar unidades del resultado final. Redondeo y compenso.

Observaciones (para suma y resta)

·         Hay en ocasiones que en operaciones sin llevadas podremos realizar mentalmente el cálculo como si lo estuviéramos realizando de manera escrita.

·         Si aparecen números positivos y negativos hay que tener siempre en cuenta la regla de los signos. Dos negativos seguidos = positivo. Negativo y positivo = negativo .   .

Recuerda que, si estamos ante una suma, sumar el número menor al mayor suele minimizar errores                                                     

·         Si aparecen números decimales, debemos fijarnos muy bien en la coma y sumar o restar correctamente las cantidades del mismo orden.

·         Si aparecen números fraccionarios pondremos común denominador antes de efectuar la suma o resta

3.  TÉCNICAS Y ESTRATEGIAS PARA LA MULTIPLICACIÓN

Aplicar propiedad conmutativa

Al igual que en la suma, en la multiplicación podemos utilizar la propiedad conmutativa de manera que intercambiando los factores podremos realizar las operaciones de una manera más rápida en nuestra cabeza.

Reducción a la suma

Conviene no olvidar que la multiplicación es una suma. Por lo tanto, en algunas operaciones como “algo” x 2 quizás nos es más fácil hallar el resultado sumándolo dos veces.

Descomponer y utilizar propiedad distributiva

Se realiza descomponiendo uno de los factores en sumas o en restas para finalmente utilizar la propiedad distributiva.

Por ejemplo 36 x 4= (30 + 6) x 4= 120+24= 144

 Factorización

Consistente en descomponer uno o ambos factores en otros más simples. Su fundamento estructural es la propiedad asociativa de la multiplicación, pero ocasionalmente, se acude a la propiedad conmutativa.

Multiplicar doblando y dividiendo por dos

Si alguno de los números de la multiplicación es par podrás dividirlo entre 2 y al otro número multiplicarlo por 2 para que resulte mas fácil hacer la operación.

Cálculo aproximado

Para hacer una estimación del resultado de una multiplicación puedes utilizar la táctica de redondear una cantidad hacia abajo y otra hacia arriba.

Multiplicaciones básicas

Situaciones concretas:

·         Multiplicar por 10 ó potencias de 10: Por cada potencia de 10 añadiremos un cero al número o, si se trata de números decimales, desplazaremos la coma hacia la derecha y añadiremos ceros si no hay suficientes decimales.

·   Multiplicar por múltiplos de 10 (20, 30, 40…): Utilizando la idea de factorizar vemos que multiplicar por 20 es lo mismo que multiplicar por 2 y por 10, multiplicar por 300 equivale a multiplicar por 3 y por 100.

·       Multiplicar por 2, 4, 8,…  (potencias de 2): Multiplicar por dos se puede asociar a la idea de doblar. Multiplicar por cuatro será doblar el doble, …etc.

·    Multiplicar por dos se puede asociar a la idea de doblar. Multiplicar por cuatro será doblar el doble, …etc.

·     Multiplicar por 5 y 25: multiplicar un nº por 5 es lo mismo dividirlo entre 2 y multiplicarlo por 10. Por lo tanto, para multiplicar un número por 25 basta multiplicarlo por 100 (añadir 2 ceros) y dividirlo por 4 (dividir 2 veces por 2).

·       Multiplicar por 6: Podemos pensar en multiplicarlo por 2 y luego por 3.

·      Multiplicar por 9 (99, 999,…): Para multiplicar un nº por 9 podemos multiplicarlo por 10 (añadir un cero)  y restar el número

·      Multiplicar por 11: Para multiplicar un nº por 11 podemos multiplicarlo por 10 (añadir un cero) y sumar el número.

·         Multiplicar por 12: Añado un cero y sumo su doble

·         Multiplicar por un nº entre 0 y 1 equivale a dividir: Quito ceros o desplazo la coma a la izquierda

·         MULTIPLICACIONES POR 1,25 ; 1,5 y 2,5…:

-          MULTIPLICAR POR 1,25 equivale sumar al número su cuarta parte.

-          MULTIPLICAR POR 1,5 equivale a sumar al número su mitad, ó la mitad por 3.

-          MULTIPLICAR POR 2,5 equivale a doble del nº  y sumarle su mitad, o la cuarta parte por 10

Trucos o curiosidades de algunas multiplicaciones

·       Multiplicar por 11 un nº de dos cifras “ab”: ab · 11

·      Multiplicar dos números de dos dígitos cuyo primer dígito es el mismo y los segundos suman 10: ab · ac siendo b + c =10

·        Calcular el cuadrado de un número de dos dígitos que acaba en 5: (a5)^2

·  Producto de números simétricos respecto de una decena: Para obtener estos productos nos basaremos en la expresión ( a + b) ( a – b ) = a2 – b2

·    MULTIPLICAR UN MÚLTIPLO DE 5 POR UN MÚLTIPLO DE 2: En estos casos será muy práctico factorizarlos e ir buscando productos que den 10 ó múltiplo de 10.

4.    TÉCNICAS Y ESTRATEGIAS PARA LA DIVISIÓN

Podemos pensar en utilizar la prueba de la división para obtener el resultado y así transformar la división en multiplicación. Algunas otras estrategias y atajos que podemos utilizar ante determinadas divisiones son:

·         Dividir entre 2 y 3: Pensaremos en calcular la mitad o la tercera parte de una cantidad.

·         Dividir entre 10 o potencias de 10: Quito ceros o desplazo la coma a la izquierda

·         Dividir entre 5 ó 25 : Multiplico por 2 y divido entre 10

·         Dividir por descomposición del divisor en factores: Dividir entre dos sucesivamente

·         El dividendo es múltiplo de 10: Para dividir un número acabado en uno o varios ceros, dividir el número sin los ceros y añadir los ceros al cociente. 

·         Dividir por un nº entre 0 y 1:

-          Dividir entre 0,1 ; 0,01 ; 0,001  es igual que multiplicar por 10, 100 ó 1000 respectivamente.

-          Dividir entre 0,5 equivale a multiplicar por 2 ó calcular el doble.

-          Dividir entre 0,25 equivale a multiplicar por 4 (2 veces por 2)

-          Dividir entre 0,2: equivale a multiplicar por 5 (multiplicar por 10 y dividir entre 2)

Observaciones (para multiplicaciones y divisiones)

·         Tener en cuenta las reglas de los signos.

·         Si aparecen números fraccionarios: Multiplicar en horizontal, dividir en cruz.

·         Fracción como operador: a/b de c

·         Porcentajes (%)

Sentido numérico, aritmética mental y algoritmos

Sentido numérico, aritmética mental y algoritmos

   1.Cálculo mental y aritmética mental

El calculo mental ha dio evolucionando a lo largo de los años. Una de las propuestas más actuales es la conocida como “aritmética mental” basada en el desarrollo de las capacidades del alumno para que pueda resolver operaciones manteniéndose al margen del papel y lápiz.

1.1.            El cálculo mental

El cálculo mental siempre ha estado muy relacionado con las matemáticas. Se ha utilizado de diversas maneras, pero siempre con un mismo fin que era dominar el cálculo mental para poder utilizarlo a la hora del cálculo escrito.

El cálculo mental se ha solido utilizar con números pequeños porque para el uso de números grandes lo más normal es que nos encontremos algoritmos para resolverlo.

            1.2 Aritmética mental, un cambio de mentalidad

La definición del Instituto Freudenthal :

“Aritmética mental es el cálculo interno con representaciones numéricas mentales en lugar de escritas. Esto incluye el uso de datos memorizados y las propiedades de los números y las operaciones y las maneras en que éstas se relacionan. Sin embargo, no es lo mismo que hacer cálculos y escribir algunos pasos cuando sea necesario. No debería ser visto como lo opuesto a la aritmética escrita. “

La utilización de la aritmética mental significa que hay que definir unos nuevos contenidos centrados en estrategias que potencien el aprendizaje de las propiedades de las operaciones.

   2.Estrategias aditivas y aritmética mental

A través de que los alumnos intenten resolver algunos problemas llegarán a las estrategias institucionalizables por las que promoverán su uso en otros problemas. Esta institucionalización de algunas de las estrategias emergentes no debería implicar la completa pérdida de aquellas otras estrategias emergentes que sin ser generalizables a todo tipo de números son eficaces en algunos casos (estrategias alternativas). 

 Tipos de estrategias institucionalizables:

-          La estrategia de descomposición, que es básica ya que es utilizada en los algoritmos escritos de lápiz y papel.

-          La estrategia de saltos de una gran potencia didáctica ya que nos acerca al uso de la línea numérica y favorece el descubrimiento de nuevas estrategias como veremos más adelante. 

2.1 Estrategia de saltos

Aunque existen diversas maneras de realizar esta estrategia, la idea principal es que en una recta sitúen el numero al que le van a tener que sumar o restar otro entonces los alumnos descompondrán el numero a sumar o restar como más fácil les sea y operaran con los saltos correspondientes en esa recta, es decir, para sumar avanzan y para restar retroceden.

            2.2 Estrategia de descomposición

“Los dos casos los alumnos saben resolver correctamente el problema, pero mientras el primero resuelve el problema aplicando el algoritmo, el segundo recurre a sus conocimientos previos sobre el sistema posicional para resolverlo, representando las decenas por “palos”, las unidades por puntos y aplicando de manera intuitiva la estrategia de descomposición. Podríamos decir que convierte un problema en dos: el primero, saber cuáles son las acciones necesarias para resolverlo y el segundo solucionar la operación con estrategias emergentes.”

2.3 Aspectos relevantes de la aritmética mental en situaciones aditivas

            - Para calcular es necesario descomponer los números en unidades y decenas.

            - Continuamente están realizando conteos de 10 en 10, de 100 en 100 que al igual que las descomposiciones normalmente se trabajan aparte y sin que quede demasiado clara su funcionalidad.

            - Al contrario que en el algoritmo estándar de la suma, los alumnos suman cantidades y no dígitos.

            - Al sumar primero las cantidades de magnitud superior, obtenemos una primera estimación del resultado, cosa que permite un control del error, información que los algoritmos escritos no comunican.

3. Estrategias multiplicativas y aritmética mental

            3.1 Multiplicación: contextos, propiedades y modelos.

Podríamos decir que en el fondo la multiplicación aparece por una necesidad de contar rápido: en lugar de contar de uno en uno una serie de objetos, los juntamos en grupos del mismo número de elementos y después efectuamos el conteo por grupos. Ver ejemplos

3.2 El modelo rectangular: propiedades y ayuda a la compresión del algoritmo

La introducción de un segundo modelo, llamado modelo rectangular nos ofrece un contexto distinto que nos ayudará a abrir puertas que con la suma reiterada no son asequibles La pregunta a formular sería: ¿Cuántas baldosas forman “este” mosaico?

La segunda aplicación de este modelo la encontramos cuando queremos plantear ejercicios que superen los cálculos propios de las tablas de multiplicar como por ejemplo las multiplicaciones del tipo 7x14.  Ver ejemplos.

3.3 Algoritmos personales y algoritmos estándar

El aprendizaje clásico de la aritmética se gestiona a partir de pequeños compartimentos que se trabajan por separado: contar hacia adelante o hacia atrás unidades, decenas o centenas, descomponer un número), estudiar propiedades, multiplicar por un número seguido de ceros, etc. Ver ejemplos.

         4.Aritmética mental vs algoritmos, una propuesta de cambio en el currículum.

La propuesta final es acabar sustituyendo con la aritmética mental los algoritmos escritos que suelen realizar los alumnos para resolver operaciones. Pero esto significa que hay que desplazar el papel tan importante que tenían los algoritmos.

Sin embargo, la razón principal para plantear este cambio viene dada por el hecho de que desde la aparición de las calculadoras la enseñanza de los algoritmos escritos y su papel es la escuela ha sido discutida.

4.1  Las tres preguntas

-          ¿Cuánto tiempo hace que no ve a alguien resolviendo una división por dos cifras con lápiz y papel?

-          ¿Cuál es la razón para continuar enseñando algoritmos en la escuela?

-          ¿Cómo es posible que dedicando tanto tiempo al aprendizaje de los algoritmos se obtengan resultados tan pobres?

Se plantean estas preguntas a lo largo de distintos periodo de tiempo, la primera en 1979, la segunda en 1987 y la tercera a finales del siglo XX.

La aritmética mental puede recoger el testimonio de los excelentes pero viejos y cansados algoritmos y convertirse en el andamio sobre el que construir los aprendizajes. Y puede hacerlo por tres razones:

-          Es transparente, contrariamente a la opacidad de los algoritmos lo que permite que los alumnos puedan aprender los procesos en profundidad en lugar de memorizarlos.

-          Es una alternativa que (de formas distintas) se está llevando a cabo en distintos países cuyo rendimiento en enseñanza de las matemáticas podemos considerar notable y es una propuesta curricular, o sea, que no son actividades aisladas sino una línea de trabajo.

-          Su filosofía entronca con la idea de trabajar las matemáticas en un ambiente de resolución de problemas.

     5.¿Para qué enseñamos algoritmos aritméticos en la escuela?

Lo que ha quedado claro es que no enseñamos los algoritmos de la suma, la resta, la multiplicación y la división con el objetivo de que nuestros alumnos puedan “resolver problemas” ya que estos se pueden resolver sin algoritmos. Pero si los enseñamos por otros motivos, cabe cuestionar si los algoritmos estándar son los más adecuados para alcanzar esos objetivos.

Aquí otros algoritmos junto con su motivo:

-          Un motivo histórico: Enseñamos los algoritmos estándar porque son una construcción se ha mantenido vigente durante varios siglos gracias a su eficiencia.

-          Otro motivo: la multiculturalidad. No solamente ha cambiado la manera de realizar cálculos a través del tiempo, en la actualidad, tampoco se opera igual en todos los sitios del mundo. Para confirmarlo basta con comparar los algoritmos que utiliza cuando llega un alumno extranjero al aula.

-          Otro motivo: valorar la transparencia: Como muchas veces los alumnos operan sin saber el porqué de esa operación, es muy útil los algoritmos transparentes entendiéndolos, así como que loas alumnos sabrán y entenderán para que lo están usando.