Sentido numérico, aritmética mental y algoritmos

Sentido numérico, aritmética mental y algoritmos

   1.Cálculo mental y aritmética mental

El calculo mental ha dio evolucionando a lo largo de los años. Una de las propuestas más actuales es la conocida como “aritmética mental” basada en el desarrollo de las capacidades del alumno para que pueda resolver operaciones manteniéndose al margen del papel y lápiz.

1.1.            El cálculo mental

El cálculo mental siempre ha estado muy relacionado con las matemáticas. Se ha utilizado de diversas maneras, pero siempre con un mismo fin que era dominar el cálculo mental para poder utilizarlo a la hora del cálculo escrito.

El cálculo mental se ha solido utilizar con números pequeños porque para el uso de números grandes lo más normal es que nos encontremos algoritmos para resolverlo.

            1.2 Aritmética mental, un cambio de mentalidad

La definición del Instituto Freudenthal :

“Aritmética mental es el cálculo interno con representaciones numéricas mentales en lugar de escritas. Esto incluye el uso de datos memorizados y las propiedades de los números y las operaciones y las maneras en que éstas se relacionan. Sin embargo, no es lo mismo que hacer cálculos y escribir algunos pasos cuando sea necesario. No debería ser visto como lo opuesto a la aritmética escrita. “

La utilización de la aritmética mental significa que hay que definir unos nuevos contenidos centrados en estrategias que potencien el aprendizaje de las propiedades de las operaciones.

   2.Estrategias aditivas y aritmética mental

A través de que los alumnos intenten resolver algunos problemas llegarán a las estrategias institucionalizables por las que promoverán su uso en otros problemas. Esta institucionalización de algunas de las estrategias emergentes no debería implicar la completa pérdida de aquellas otras estrategias emergentes que sin ser generalizables a todo tipo de números son eficaces en algunos casos (estrategias alternativas). 

 Tipos de estrategias institucionalizables:

-          La estrategia de descomposición, que es básica ya que es utilizada en los algoritmos escritos de lápiz y papel.

-          La estrategia de saltos de una gran potencia didáctica ya que nos acerca al uso de la línea numérica y favorece el descubrimiento de nuevas estrategias como veremos más adelante. 

2.1 Estrategia de saltos

Aunque existen diversas maneras de realizar esta estrategia, la idea principal es que en una recta sitúen el numero al que le van a tener que sumar o restar otro entonces los alumnos descompondrán el numero a sumar o restar como más fácil les sea y operaran con los saltos correspondientes en esa recta, es decir, para sumar avanzan y para restar retroceden.

            2.2 Estrategia de descomposición

“Los dos casos los alumnos saben resolver correctamente el problema, pero mientras el primero resuelve el problema aplicando el algoritmo, el segundo recurre a sus conocimientos previos sobre el sistema posicional para resolverlo, representando las decenas por “palos”, las unidades por puntos y aplicando de manera intuitiva la estrategia de descomposición. Podríamos decir que convierte un problema en dos: el primero, saber cuáles son las acciones necesarias para resolverlo y el segundo solucionar la operación con estrategias emergentes.”

2.3 Aspectos relevantes de la aritmética mental en situaciones aditivas

            - Para calcular es necesario descomponer los números en unidades y decenas.

            - Continuamente están realizando conteos de 10 en 10, de 100 en 100 que al igual que las descomposiciones normalmente se trabajan aparte y sin que quede demasiado clara su funcionalidad.

            - Al contrario que en el algoritmo estándar de la suma, los alumnos suman cantidades y no dígitos.

            - Al sumar primero las cantidades de magnitud superior, obtenemos una primera estimación del resultado, cosa que permite un control del error, información que los algoritmos escritos no comunican.

3. Estrategias multiplicativas y aritmética mental

            3.1 Multiplicación: contextos, propiedades y modelos.

Podríamos decir que en el fondo la multiplicación aparece por una necesidad de contar rápido: en lugar de contar de uno en uno una serie de objetos, los juntamos en grupos del mismo número de elementos y después efectuamos el conteo por grupos. Ver ejemplos

3.2 El modelo rectangular: propiedades y ayuda a la compresión del algoritmo

La introducción de un segundo modelo, llamado modelo rectangular nos ofrece un contexto distinto que nos ayudará a abrir puertas que con la suma reiterada no son asequibles La pregunta a formular sería: ¿Cuántas baldosas forman “este” mosaico?

La segunda aplicación de este modelo la encontramos cuando queremos plantear ejercicios que superen los cálculos propios de las tablas de multiplicar como por ejemplo las multiplicaciones del tipo 7x14.  Ver ejemplos.

3.3 Algoritmos personales y algoritmos estándar

El aprendizaje clásico de la aritmética se gestiona a partir de pequeños compartimentos que se trabajan por separado: contar hacia adelante o hacia atrás unidades, decenas o centenas, descomponer un número), estudiar propiedades, multiplicar por un número seguido de ceros, etc. Ver ejemplos.

         4.Aritmética mental vs algoritmos, una propuesta de cambio en el currículum.

La propuesta final es acabar sustituyendo con la aritmética mental los algoritmos escritos que suelen realizar los alumnos para resolver operaciones. Pero esto significa que hay que desplazar el papel tan importante que tenían los algoritmos.

Sin embargo, la razón principal para plantear este cambio viene dada por el hecho de que desde la aparición de las calculadoras la enseñanza de los algoritmos escritos y su papel es la escuela ha sido discutida.

4.1  Las tres preguntas

-          ¿Cuánto tiempo hace que no ve a alguien resolviendo una división por dos cifras con lápiz y papel?

-          ¿Cuál es la razón para continuar enseñando algoritmos en la escuela?

-          ¿Cómo es posible que dedicando tanto tiempo al aprendizaje de los algoritmos se obtengan resultados tan pobres?

Se plantean estas preguntas a lo largo de distintos periodo de tiempo, la primera en 1979, la segunda en 1987 y la tercera a finales del siglo XX.

La aritmética mental puede recoger el testimonio de los excelentes pero viejos y cansados algoritmos y convertirse en el andamio sobre el que construir los aprendizajes. Y puede hacerlo por tres razones:

-          Es transparente, contrariamente a la opacidad de los algoritmos lo que permite que los alumnos puedan aprender los procesos en profundidad en lugar de memorizarlos.

-          Es una alternativa que (de formas distintas) se está llevando a cabo en distintos países cuyo rendimiento en enseñanza de las matemáticas podemos considerar notable y es una propuesta curricular, o sea, que no son actividades aisladas sino una línea de trabajo.

-          Su filosofía entronca con la idea de trabajar las matemáticas en un ambiente de resolución de problemas.

     5.¿Para qué enseñamos algoritmos aritméticos en la escuela?

Lo que ha quedado claro es que no enseñamos los algoritmos de la suma, la resta, la multiplicación y la división con el objetivo de que nuestros alumnos puedan “resolver problemas” ya que estos se pueden resolver sin algoritmos. Pero si los enseñamos por otros motivos, cabe cuestionar si los algoritmos estándar son los más adecuados para alcanzar esos objetivos.

Aquí otros algoritmos junto con su motivo:

-          Un motivo histórico: Enseñamos los algoritmos estándar porque son una construcción se ha mantenido vigente durante varios siglos gracias a su eficiencia.

-          Otro motivo: la multiculturalidad. No solamente ha cambiado la manera de realizar cálculos a través del tiempo, en la actualidad, tampoco se opera igual en todos los sitios del mundo. Para confirmarlo basta con comparar los algoritmos que utiliza cuando llega un alumno extranjero al aula.

-          Otro motivo: valorar la transparencia: Como muchas veces los alumnos operan sin saber el porqué de esa operación, es muy útil los algoritmos transparentes entendiéndolos, así como que loas alumnos sabrán y entenderán para que lo están usando.